Module et argument d'un nombre complexe

Définition géométrique

Définition

Soit $z$ un complexe. $M$ (ou $\overrightarrow{w}$) un point (ou un vecteur)

d'affixe $z$.

• On appelle module de $z$ la distance $OM$ (ou la norme $||\overrightarrow{w}||$). Le module de $z$ est noté $|z|.$

• Si $z\neq 0$, on appelle argument de $z$ une mesure en radians de l'angle $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)$ ( ou $\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{w} \right)$).

Un argument de $z$ est noté $\arg (z).$

• Le complexe nul n'a pas d'argument et a pour module 0.

Remarque

$\arg(z)$ peut prendre une infinité de valeurs différentes : si $\theta$ est une mesure de $\arg(z)$ alors $\theta +k 2 \pi$ est une autre mesure de $\arg(z)$ pour $k\in \Z$. On notera : $\arg(z)=\theta\ [2\pi]$ et on dit que l'argument de $z$ vaut $\theta$ « modulo $2\pi$ » \ou « à $2\pi$ près » .

Exemples

• $|i|=OV=1$ et $\arg (i )=\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OV} \right)=\dfrac{\pi}{2}$.

• Soit $M_1$ d'affixe $-4$ on a ; $|-4|=OM_1=4$ et $\arg(-4)=\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM_1} \right)=\pi$.

• Soit $M_2$ d'affixe $1+i$ on a :

$|1+i|=OM_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ d'après la formule des distances

$\arg(1+i)=\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM_2} \right)=\dfrac{\pi}{4}$ la diagonale du carré $OUM_2V$ étant la bissectrice de $\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)$.

Méthode [ Déterminer un ensemble de points ]

Exercice:

Déterminer dans le repère orthonormé $(O\ ;\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} )$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que :

1. $|z|=3$

2. $\arg(z)=-\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$

Correction

1. $|z|=3 \ \iff \ OM=3$.

Donc l'ensemble des points $M$ tel que $|z|=3$ est un cercle de centre $O$ et de rayon 3.

2. $\arg(z)=-\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi] \Longleftrightarrow \left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM} \right)=-\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$.

Donc l'ensemble des points $M$ tel que $\arg(z)=-\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$ est une demi-droite d'origine $O$, privé de $O$, de vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}$ tel que $\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{u_1} \right)=-\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$.

Calcul algébrique du module et d'un argument

Théorème

Soit $z=a+i b$ un complexe.

• $|z|=\sqrt{z\times \bar{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$

• Si $z\neq 0$ alors $\theta=\arg(z)$ peut être déterminé par :

\begin{array}{rcl} \cos (\theta)&=&\dfrac{a}{|z|} \\ \sin (\theta)&=&\dfrac{b}{|z|}\\ \end{array}\right.

Méthode [Déterminer le module et un argument d'un nombre complexe ]

Exercice:

Déterminer le module et un argument du complexe $z=-1+i \sqrt{3}$.

Correction

1. On calcule d'abord le module : $|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2.$

2. On cherche donc $\theta=\arg(z)$ tel que

\begin{array}{rcl} \cos(\theta)&=&\dfrac{-1}{2} \\ \sin(\theta)&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}\right.

$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \theta&=&\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]\\ \text{ou}& & \\ \theta&=& -\dfrac{2\pi}{3} [2\pi]\\ \end{array}\right.$

Or $\sin(\theta)>0$ donc $\arg(z)=\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ $[2\pi]$.

Égalité de deux nombres complexes par module et argument

Théorème

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument.

Preuve

La preuve résulte directement des formules précédentes.

Remarques

• $|z|=0\ \iff\ z=0$.

• $z\in \R\ \iff \ \arg(z)=0 \ \text{ou} \ \pi \ [2\pi] \ \text{ou} \ z=0.$

• $z \ \text{est un imaginaire pur}\ \iff\ \arg(z)= \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi] \ \text{ou} \ z=0.$

• Attention, pour l'égalité des arguments, il faut la penser « à $2\pi$ » près.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Définition

Définition

Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme $z=r(\cos (\theta)+i \sin(\theta))$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg (z)$ $[2\pi]$.

Cette forme s'appelle forme trigonométrique de $z$.

Remarques

1. Dans l'écriture sous forme trigonométrique, on peut remplacer $\theta$ par n'importe quelle valeur $\theta+k2\pi$, $k$ entier relatif.

2. ATTENTION dans l'écriture $z=r(\cos (\theta)+i \sin(\theta))$ il est crucial d'avoir $r>0$.

Par exemple : $z=-2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+ i \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$ n'est pas une forme trigonométrique car $-2$ n'est pas strictement positif.

Passage d'une forme à l'autre

Théorème

Soit $z$ un complexe non nul. $z=a+i b=r\left(\cos (\theta)+i \sin(\theta)\right)$

$\left\lbrace \begin{array}{rcl} |z|&=&\sqrt{a^2+b^2}\\ \cos (\theta)&=&\dfrac{a}{|z|} \\ \sin (\theta)&=&{\dfrac{b}{|z|}}\\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rcl} a&=&r\cos (\theta) \\ b&=&r\sin (\theta)\\ \end{array}\right.$

Remarque

Pour déterminer la forme trigonométrique $z=r(\cos (\theta)+i \sin(\theta))$ d'un complexe, on reprend la méthode pour la détermination de $r$ et de $\theta$.

Module argument et opérations avec les nombres complexes

Dans les deux théorèmes qui suivent $z$ et $z'$ sont des nombres complexes.

Théorème

1. $z\neq 0$ : $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$

$\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)$ $[2\pi]$

2. $z'\neq 0$ : $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$

$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$ $[2\pi]$ pour $z\neq 0$

Preuve

1. Ce point a été déjà prouvé précédemment.

2. Il suffit d'utiliser la propriété de symétrie par rapport à l'origine.

3. De même avec la symétrie par rapport l'axe des ordonnées.

Si $z=0$ ou $z'=0$, alors $|z z'|=0$ et $|z| |z'|=0$ d'où l'égalité.

Si $z,z'\in \C^*$ alors : $z=r(\cos(\theta)+i \sin(\theta))$ et $z=r'(\cos(\theta')+i \sin(\theta'))$.

$z z'=rr'(\cos(\theta) \cos(\theta')-\sin(\theta) \sin(\theta')+i (\cos(\theta) \sin(\theta')+\cos(\theta') \sin(\theta))$.

Ce qui donne d'après les formules d'addition pour sinus et cosinus :

$zz'=rr' (\cos(\theta+\theta')+i \sin(\theta+\theta')).$

Or, $rr'>0$ donc $zz'=rr'=|z||z'|$ et $\arg(zz')=\theta+\theta'=\arg(z)+\arg(z')$ $[2\pi].$ Ce qui prouve bien le point 4).

5. Ces égalités se montrent par récurrence.

Théorème

1. $z\neq 0$ : $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$ & $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)$ $[2\pi]$
2. $z'\neq 0$ : $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ & $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$ $[2\pi]$ pour $z\neq 0$

Preuve

3. $z$ est un complexe non nul. On a $z\times \dfrac{1}{z}=1$ qui donne d'une part $\left|z\times \dfrac{1}{z}\right|=1$ c'est-à-dire $|z|\times \left|\dfrac{1}{z}\right|=1$. Et enfin $\left|\dfrac{1}{z}\right|= \dfrac{1}{|z|}$.

D'autre part, $\arg\left(z\times \dfrac{1}{z}\right)=\arg(1) [2\pi]$ donne $\arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=0 [2\pi]$.

On en conclut le point 1).

2. $z$ et $z'$ deux complexes avec $z'\neq 0$

$\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\left|z\times \dfrac{1}{z'}\right|=|z|\times \left|\dfrac{1}{z'}\right|=|z|\times\dfrac{1}{|z'|}=\dfrac{|z|}{|z'|}$

et si $z\neq 0$ : $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(z\times \dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$ $[2\pi]$.

Méthode [Comment utiliser les propriétés des modules et arguments ]

Exercice:

1. $z_1=-\sqrt{3}+i$ et $z_2=\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}i$ deux nombres complexes. Déterminer le module et un argument de $z_1z_2$.

2. Déterminer la forme algébrique de $\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} i \right)^{2016}.$

Correction

1. $|z_1|=\sqrt{3+1}=2$ et $|z_2|=\sqrt{\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}}=\dfrac{1}{3}$. Donc : $|z_1z_2|=|z_1||z_2|=2\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.$

2. $\theta_1=\arg(z_1)$ est tel que

$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta_1)&=&\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \\ \sin(\theta_1)&=&\dfrac{1}{2}\\ \end{array}\right.$

$\sin(\theta_1)=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta_1=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi] \ \text{ou} \ \dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]$, or $\cos(\theta_1)<0$ donc $\theta_1= \dfrac{5\pi}{6} [2\pi]$

$\theta_2=\arg(z_2)$ est tel que

$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta_2)&=&\frac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}} \\ \sin(\theta_2)&=&\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{6}}{\dfrac{1}{3}}\\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta_2)&=&\dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta_2)&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}\right.$

$\cos(\theta_2)=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta_2=\dfrac{\pi}{3} [2\pi] \ \text{ou} \ \dfrac{-\pi}{3} [2\pi]$, or $\sin(\theta_2)>0$ donc $\theta_2= \dfrac{\pi}{3} [2\pi].$

Donc : $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}$ $[2\pi].$

1. On remarque : $z=-\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}i=-3z_2$ et donc :

   $|z|=3\times |z_2|=1 \text{ et } \arg(z)=\arg(z_2)+\pi [2\pi]= -\frac{2\pi}{3} [2\pi]$

   $\arg\left(z^{2016}\right)=2016 \times \arg(z) = 2016\times \dfrac{2\pi}{3} [2\pi]=672 \times 2\pi [2\pi]=0 [2\pi]$.

De plus $|z|=1$ donc $\left|z^{2016}\right|=|z|^{2016}=1.$

On en déduit : $z^{2016}=1\times(\cos(0)+i\sin(0))=1.$

Applications des nombres complexes à la géométrie

Théorème

• Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

$AB=||\overrightarrow{AB} ||=|z_B-z_A|$ et $\arg(z_B-z_A)=\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{AB} \right)$ $[2\pi]$.

• Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)$ $[2\pi]$.

Preuve

• Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

Il existe un unique point $M$ d'affixe $z$ tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$. Les affixes de ces deux vecteurs sont donc égales ce qui donne : $z=z_B-z_A$.

On en déduit que $|z|=|z_B-z_A|$ et $\arg(z)=\arg(z_B-z_A) [2\pi]$.

Donc $OM=AB=|z_B-z_A|$ et $\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{OM} \right)=\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{AB} \right)=\arg(z_B-z_A) [2\pi]$.

• Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A, z_B, z_C$ et $z_D$.

Par les propriétés de l'argument on a :

$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=\arg(z_D-z_C)-\arg(z_B-z_A).$

Ce qui donne par définition de l'argument :

$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{CD}\right)-\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)$

$=\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{u}\right)+\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{CD} \right)=\left( \overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD} \right) [2\pi]$

la dernière égalité résultant de la relation de Chasles pour les angles de vecteurs.

Méthode [Ensembles de points ]

Exercice:

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant la condition :

• $|z+1-i|=3.$

• $|z-3|=|z+2+3i|.$

• $\arg(z-1-i)=\dfrac{\pi}{4} [2\pi].$

• $\arg\left(\dfrac{z-1+2i}{z+1}\right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi].$

Correction

• $|z+1-i|=3 \Longleftrightarrow |z-(-1+i)|=3 \Longleftrightarrow AM=3$ avec $A$ point d'affixe $z_A=-1+i$.

Donc $M$ appartient au cercle de centre $A\left({-1};{1}\right)$ et de rayon 3.

• $|z-3|=|z+2+3i| \Longleftrightarrow |z-3|=|z-(-2-3i)| \Longleftrightarrow BM=CM$ avec $B$ d'affixe $z_B=3$ et $C$ d'affixe $z_C=-2-3i$.

Donc $M$ appartient à la médiatrice de $[BC]$.

• $\arg(z-1-i)=\dfrac{\pi}{4} [2\pi] \Longleftrightarrow \arg(z-(1+i))=\dfrac{\pi}{4} [2\pi] \Longleftrightarrow \left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{EM} \right)=\dfrac{\pi}{4} [2\pi]$ avec $E$ d'affixe $z_E=1+i$.

Donc $M$ appartient à la demi-droite d'origine $E$ privé de $E$, de vecteur directeur \overrightarrow{u_1} } tel que $\left( \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{u_1} \right)=\dfrac{\pi}{4}$.

• $\arg\left(\dfrac{z-1+2i}{z+1}\right)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi] \Longleftrightarrow \left( \overrightarrow{GM} ;\overrightarrow{FM} \right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]$ avec $F$ d'affixe $z_F=1-2i$ et $G$ d'affixe $z_G=-1$.

Donc $M$ appartient au cercle de diamètre $[FG]$ privé des points $F$ et $G$.

Remarques

1. Trois points distincts sont alignés si et seulement si : $\left( \overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)=0\ [\pi]$ ce qui équivaut à :

$\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=0\ [\pi] \Longleftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ est un réel non nul.

2. Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si : $\widehat{\left( \overrightarrowAB} };\overrightarrowAC} }\right)}=\dfrac{\pi}{2} [\pi] $; c'est-à-dire :

$\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ et $B\neq A$ et $C\neq A$ $\Longleftrightarrow \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ est un imaginaire pur non nul.

Méthode [Nombres complexes et configurations géométriques ]

Exercice:

$A, B, C$ trois points d'affixes respectives : $z_A=2 i$, $z_B=2+i$, $z_C=1-i$.

Démontrer que le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $B$.

Correction

$AB=|z_B-z_A|=|2-i|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$ et $BC=|z_C-z_B|=|-1 -2i|=|1+2i|=\sqrt{5}$ donc $ABC$ isocèle en $B$. D'autre part :

$\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=\dfrac{-2+i}{-1-2i}=\dfrac{(-2+i)(-1+2i)}{1+4}=-i.$

Donc $\left( \overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)=\arg\left(\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\right)=\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ donc $ABC$ est rectangle en $B$.

Forme exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(\theta)=\cos(\theta)+i \sin(\theta)$.

$f(\theta)$ est un nombre complexe de module 1 et d'argument $\theta$. Grâce aux formules d'addition pour le sinus et le cosinus on montre que :

$f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta'),$

ce qui est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle dans $\R$. Comme de plus $f(0)=1$,

on convient de noter par analogie : $\cos(\theta)+i\sin(\theta)=e^{i\theta}$.

Ecriture exponentielle des complexes de module 1

Définition

Tout nombre complexe de module 1 et d'argument $\theta$ peut s'écrire sous la forme :

$\cos(\theta)+i\sin(\theta)=e^{i\theta}.$

Exemples

1. Placer sur le cercle trigonométrique les points $M_i$ d'affixes $z_i$ tels que :

   $z_1=e^{i\frac{\pi}2}$; $z_2=e^{i\pi}$; $z_3=e^{i\frac{3\pi}{2}}$; $z_4=e^{i2\pi}$; $z_5=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

2. La forme algébrique des complexes précédents est :

$z_1=e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) +i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) =i$;

$z_2=e^{i\pi}=\cos(\pi)+i \sin(\pi)=-1$;

$z_3=e^{i\frac{3\pi}{2}}=\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) +i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) =-i$;

$z_4=e^{i2\pi}=\cos(2\pi)+i \sin(2\pi)=1$;

$z_5=e^{i\frac{2\pi}{3}}=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) +i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) =-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cas général

Définition

Tout complexe $z\neq 0$ s'écrit sous la forme $z=re^{i\theta}$ avec $r=|z|$ et $\theta\equiv \arg(z) [2\pi].$

Cette écriture est appelée « forme exponentielle du complexe $z$ » .

Réciproque : Si $z\in \mathbb{C}^*$ et $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$ alors $r=|z|$ et $\theta=\arg(z) [2\pi].$

Remarque

Pour déterminer la forme exponentielle d'un complexe $z$, on reprend la

méthode pour la détermination de $r$ et de $\theta$.

Exemples

1. Déterminons la forme exponentielle de $z_1=-2i$ et $z_2=1+i$.

On peut déterminer le module et un argument par la méthode précédemment donnée mais on peut aussi opérer de la manière suivante :

$z_1=-2i=2(-1+0i)=2\left(\cos\left(\frac{-\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{-\pi}{2}\right)\right)=2e^{-i\frac{\pi}2}$

$z_2=1+i= \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}.$

2. Déterminons la forme algébrique de $z_3=4e^{i\frac{2\pi}{3}}$ :

$=4\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-2+2i \sqrt{3}.$

Calculs avec la notation exponentielle

Théorème

Pour tous nombres réels $\theta_1$, $\theta_2$ :

1. $e^{i\theta_1}\times e^{i\theta_2} =e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

2. $\left(e^{i\theta_1}\right)^n=e^{i n\theta_1},\ \ n\in \Z$

3. $\dfrac{1}{e^{i\theta_1}}=e^{-i\theta_1}=\overline{e^{i\theta_1}}$

4. $\dfrac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}} =e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

Remarques

• Ces propriétés sont admises. Elles résultent du fait que $|e^{i\theta}|=1$ et des propriétés des arguments.

• La propriété 2) s'appelle formule de Moivre quand on l'écrit sous la forme

$$

Méthode [Utilisation de la forme exponentielle ]

Exercice:

1. Mettre sous forme exponentielle : $z_1=-\sqrt{3}+i$,

$z_2=e^{-i\frac{\pi}{6}} z_1^2$,

$z_3= \dfrac{2z_1}{e^{-i \frac{\pi}{6}}}$.

1. Déterminer les entiers $n$ tels que $\left(-z_1\right)^n$ est un nombre réel.

2. Soit $Z=\dfrac{1+i}{\sqrt{6}+i\sqrt{2}}$ un complexe.

a) Déterminer la forme exponentielle du complexe $Z$.

b) Déterminer la forme algébrique du complexe $Z$. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

Correction

1. En employant la méthode on trouve $|z_1|=2$ puis $\arg(z_1)=\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]$. Donc $z_1= 2 e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

On en déduit :

$4 e^{-i\frac{\pi}{6}} \times e^{\frac{2\times 5\pi}{6}}= 4ie^{i\frac{9\pi}{6}}=4e^{i\frac{3\pi}{2}}=-4i$

et

e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{4}{5}e^{i\pi}=-\dfrac{4}{5}.\$\$ 2. $z_1=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ et donc

e^{i\frac{-n\pi}{6}}.$$

$(-z_1)^n$ est réel $\Longleftrightarrow \frac{-n\pi}{6}=0 [\pi]\Longleftrightarrow$ il existe $k\in\Z$ tel que $\frac{-n\pi}{6}=k\pi\Longleftrightarrow n=-6k$. Donc $\left(-z_1\right)^n$ est réel si et seulement si $n$ est un multiple de 6.

a) On a : $1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $\sqrt{6}+i\sqrt{2}=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}$ donc

\dfrac{\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}}}{2\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{6}}}=\dfrac{1}{2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}- \frac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{12}}\

est la forme exponentielle de $Z$.

b) $Z=\dfrac{(1+i)(\sqrt{6}-i\sqrt{2})}{8}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}+i \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$ est la forme algébrique de $Z$.

On a donc : $\dfrac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}+i \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$.

D'où : $\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}+i \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$.

On en déduit : $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Remarque

La notation exponentielle permet de retrouver les formules d'addition pour le cosinus et le sinus.