Exercices Complexes - Partie 2

Module et argument

Exercice 1 [ ]

Dans le plan complexe représenter, dans chacun des cas suivants, les points $M$ dont les affixes $z$ remplissent la condition donnée :

1. $\arg(z)=\frac{\pi}{3}$

2. $|z|=5$

3. $|z|=3$ et $\arg(z)=\pm \pi$

4. $\arg(z)=-\pi$

Solution ▼ ▲

1. C'est la demi-droite issue de l'origine (exclue) et formant un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ avec l'axe des abscisses.

2. C'est le cercle de centre l'origine et de rayon 5.

3. Ce sont les deux points du cercle de centre l'origine et de rayon 3 qui sont situés sur l'axe des abscisses.

4. C'est la partie de l'axe des réel avec une partie réelle négative (sauf l'origine).

Exercice 2 [ ]

Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

1. $z_1=7$

2. $z_2=2i$

3. $z_3= \frac{-1+i}{3}$

4. $z_4= \sqrt{3}+i$

Solution ▼ ▲

1. $|z_1|=7$ et $\arg(z_1)=0$.

2. $|z_2|= 2$ et $\arg(z_2)=\frac{\pi}{2}$

3. $|z_3|= \frac{\sqrt{2}}{3}$ et $\arg(z_3)=\frac{3\pi}{4}$

4. $|z_4|=2$ et $\arg(z_3)=\frac{\pi}{6}$

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, déterminer le module et un argument du complexe donné :

1. $z_1= \sqrt{2}+ i \sqrt{6}$

2. $z_2= i(1+i)$

3. $z_3=(3-i)(2i+1)$

4. $z_4= i\sqrt{3}+1$ :::

Exercice 4

Dans chacun des cas suivants, déterminer de deux manières différentes le module et l'argument du nombre complexe proposé

1. $z_1=\left(\sqrt{3}-i\right)(-1-i)$

2. $z_2=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{6}+i \sqrt{2}}$

3. $z_3=i\left(\frac{1+i}{1-i}\right)$

4. $z_4=\left(\frac{3i}{1+i\sqrt{3}}\right)^2$ :::

Exercice 5 []

Dans le plan complexe, représenter les points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant les conditions suivantes :

1. $\arg(z-1)=\frac{\pi}{2}$

2. $|z-3|=2$

3. $|z-i|=5$

4. $2\arg(z)=0$

Solution ▼ ▲

1. $\arg(z-1)=\vec{u}\ ;\ \overrightarrow{AM}$ avec $A$ d'affixe $1$. L'ensemble de points demandé est donc la droite passant par $A$ perpendiculaire à l'axe des réels; sauf le point $A$.

2. $|z-3|=2$ signifie que $BM=2$ avec $B$ d'affixe $3$. C'est donc le cercle de centre $B$ et de rayon $2$.

3. $|z-i|=5$. C'est le cercle de centrer $J$ d'affixe $i$ et de rayon $5$.

4. $2\arg(z)=0 \ \iff \ arg(z)= \ k \pi$ avec $k\in\Z$. Les points $M$ sont donc ceux de l'axe de réels sauf l'origine.

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, représenter l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ satisfait la condition proposée.

1. $|z|=3$

2. $\arg(z) = \frac{2\pi}{3}$

3. $|z-2|=4$

4. $\arg(z-i)= -\frac{\pi}{4}$ :::

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, représenter l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ satisfait la condition proposée.

1. $|z+i|=5$

2. $\arg(z-1-2i) = \frac{\pi}{3}$

3. $|z-2|=|z-8|$

4. $\arg(z-3i+1)= \frac{3\pi}{2}$ :::

Exercice 8

Dans le plan complexe, représenter dans chacun des cas suivants les points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie :

1. $\arg(i z)=\frac{\pi}{3}$

2. $|2z-i|=1$

3. $|z-3|=|z+4|$

4. $\arg\left(\frac{i}{\pi z}\right) = \frac{\pi}{2}$

5. $\frac{|3z-2|}{|z+3i|}=1$

6. $\arg(3i z)= \frac{\pi}{3}$

7. $\left| \frac{z+1}{z+2}\right|=1$

8. $\arg(i z^2)= \frac{4\pi}{3}$ :::

Exercice 9

1. Traduire géométriquement la condition $z\bar{z}=4$.

2. Représenter dans le plan complexe l'ensemble des points dont l'affixe $z$ est telle que $z\bar{z}=4$. :::

Exercice 10

1. Traduire géométriquement la condition

(z-i)\overline{(z-i)} = 9 \end{matrix}

2. Développer et simplifier autant que possible l'expression $(z-i)\overline{(z-i)}.$

3. Représenter dans le plan complexe l'ensemble des points dont l'affixe $z$ vérifie $|z|^2 - 2Im(z) = 8.$

Exercice 11 [D'après concours Geipi-2015]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O; $\vec{u}$, $\vec{v}$). On considère les points $A$, $B$ d'affixes respectives : $z_A=1$ et $z_B=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i.$ Soit $C$ le symétrique de $B$ par rapport à l'axe des abscisses.

a) Faire une figure en prenant pour unité 4cm.

b) Donner l'affixe du point $C$.

c) Calculer $|z_B-z_A|$ en détaillant le calcul.

d) Calculer $|z_C-z_A|$ et $|z_C-z_B|$.

e) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

1. On note $I,J,K$ les projetés orthogonaux du point $O$ sur les droites $(BC), (AC)$ et $(AB).$ On désigne par $z_I, z_J$ et $z_K$ leurs affixes.

a) Déterminer $z_I$, $z_J$ et $z_K$ et donner leurs modules.

b) En déduire $L_O=OI+OJ+OK$ en justifiant la réponse.

Exercice 12 [**ROC**]

On rappelle les prérequis suivants :

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ on a

enterline{$\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$.}

1. Démontrer que pout tout entier naturel $n$ :

enterline{$\arg(z^n)=n\arg(z)\ [2\pi].$}

2. Déterminer un argument du complexe $z=3-3i$ et en déduire que $z^n$ est un nombre réel si et seulement si $n$ est un multiple de 4.

Exercice 13 []

Soient $A,B,C,D$ quatre points du plan distincts deux à deux. On note $z_A,z_B,z_C,z_D$ leurs affixes respectives.

1. Démontrer qu'une mesure en radians de l'angle $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)$ est donnée par $\arg\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right).$

2. Dans chacun des cas suivants, utiliser le résultat précédent pour vérifier si le triangle $ABC$ est rectangle en $B.$

a) $A(3+2i)$, $B(0)$ et $C\left(-1 + \frac{3}{2}i\right)$;

b) $A(2-i)$, $B(1-4i)$ et $C(-2-3i)$;

c) $A(-4)$, $B(-2+3i)$ et $C(4-i)$.

3. Dans les cas où il est rectangle vérifier s'il est isocèle.

Solution ▼ ▲

1. Voir preuve dans le cours.

a) $\frac{z_B-z_C}{z_B-z_A}= \frac{1-\frac{3}{2}i}{-3-2i}=\frac{\left(1-\frac{3}{2}i\right)(-3+2i)}{13}=\frac{\frac{13}{2}i}{13}=\frac{1}{2}i$. Donc l'argument du quotient précédent vaut $\frac{\pi}{2}$. L'angle $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CB}\right)$ est droit et le triangle est donc rectangle en $B.$

b) $\frac{z_B-z_C}{z_B-z_A}=\frac{3-i}{-1-3i}= \frac{(3-i)(-1+3i)}{10}=\frac{10i}{10}=i$. Donc le triangle est rectangle en $B.$

c) $\frac{z_B-z_C}{z_B-z_A}=\frac{-6+4i}{2+3i}=\frac{(-6+4i)(2-3i)}{13}=2i$. Donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B.$

2. Dans le cas a) on a $AB=|z_B-z_A|=\frac{1}{2} |z_B-z_C|=\frac{1}{2}BC$ par les règles sur les quotients de module. Donc le triangle n'est pas isocèle en $B$. Même raisonnement pour le cas c).

Par contre dans le cas c) on a bien $|z_B-z_A|=|z_B-z_C|$ donc $BA=BC$ et le triangle est isocèle en $B$.

Forme trigonométrique

Exercice 14

Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants

1. $7$

2. $5i$

3. $-2-2i$

4. $i + \sqrt{3}$

5. $-5$

6. $-2+2i\sqrt{3}$

7. $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

8. $\frac{1}{3} - \frac{i}{3}$

Exercice 15

Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants

1. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{2}{\frac{\pi}{2}}$

2. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{5}{\frac{\pi}{3}}$

3. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\cos(\pi)+i\sin(\pi)$

4. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{3}{\frac{3\pi}{2}}$

5. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{\sqrt{2}}{\frac{2\pi}{3}}$

6. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{\frac{2}{3}}{-\frac{\pi}{6}}$

7. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{2}{\frac{4\pi}{3}}$

8. $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$

Exercice 16

On considère les points suivants dans le plan complexe

Déterminer une forme trigonométrique des points $A$, $B$, $C$ et $D$.

Exercice 17

Donner une valeur approchée au centième d'un argument de chacun des nombres complexes suivants

1. $4-3i$

2. $1+2i$

3. $-2 + i$

4. $-3-i$

Exercice 18

On considère le nombre complexe $z= \frac{2}{1-i}$.

1. Déterminer sa forme trigonométrique de deux façon différentes.

2. En déduire que $z^8$ est un nombre réel.

3. Généraliser le calcul précédent.

Exercice 19

On considère un nombre complexe $z$ tel que

\begin{cases} |z| &= 2\\ \arg(z) & =\frac{5\pi}{6} \end{cases} \end{matrix}\$\$ 1. Déterminer les écritures trigonométriques et algébriques de $z$. 2. Déterminer l'écritre algébrique de $\frac{1}{z}$ 3. Déterminer par deux méthodes différentes l'écriture algébrique de $\frac{1}{\bar{z}}$ ::: ::: tip Exercice 20 On considère les nombres complexes

z=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2} \end{matrix}$$ et $z'=1-i$.

1. Déterminer le module et un argument de $z$, $z$ et $\frac{z}{z'}$.

2. Déterminer la forme algébrique de $\frac{z}{z'}$.

3. En déduire que

\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{matrix}\$\$ et

\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{matrix}$$

Exercice 21 [ROC]

On rappelle les prérequis suivants :

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ on a

\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi] \end{matrix}\$\$ 1. Démontrer que pout tout entier naturel $n$ : $$\arg(z^n)=n\arg(z) [2\pi]

2. Déterminer un argument du complexe $z=3-3i$ et en déduire que $z^n$ est un nombre réel si et seulement si $n$ est un multiple de 4. :::

Forme exponentielle

Exercice 22

Mettre les nombres complexes suivants sous forme exponentielle

1. $-2 + 2i$

2. $1 - i$

3. $-3 - 3i$

4. $\sqrt{3} + i$

5. $3i$

6. $3$

7. $-i$

8. $2 + 2i\sqrt{3}$ :::

Exercice 23

Mettre les nombres complexes suivants sous forme exponentielle

1. $1 + 2i$

2. $3 - 2i$

3. $\frac{1}{2} +\frac{i}{2}$

4. $-2 + 3i$

5. $2713$

6. $\frac{1}{3} + i$

7. $\sqrt{5} - 3i$

8. $i\sqrt{2}$ :::

Exercice 24

Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique

1. $4e^{i\frac{\pi}{3}}$

2. $3e^{i\frac{\pi}{4}}$

3. $\sqrt{2}e^{i\pi}$

4. $2e^{2i\pi}$

5. $e^{-i\frac{\pi}{2}}$

6. $\frac{1}{2}e^{-i\frac{\pi}{3}}$ :::

Exercice 25

Effectuer les calculs suivants. Donner le résultat sous forme exponentielle

1. $5e^{i\frac{\pi}{6}}×e^{i\frac{\pi}{3}}$

2. $2e^{i\frac{\pi}{2}}×2e^{-i\frac{\pi}{6}}$

3. $e^{-i\frac{\pi}{2}}×(-e^{i\pi})$

4. $\frac{8e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}}$

5. $\frac{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}{e^{i\pi}}$

6. $\frac{e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{6}}}$ :::

Exercice 26

Effectuer les calculs suivants. Donner le résultat sous forme exponentielle

1. $\frac{8e^{i\frac{4\pi}{3}}×\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}}$

2. $\frac{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2e^{i\pi}×3e^{i\frac{\pi}{2}}}$

3. $e^{i\frac{\pi}{6}}+e^{i\frac{\pi}{3}}$

4. $\frac{\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^2}{\left(e^{-i\pi}\right)^2}$ :::

Exercice 27

Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

1. $\frac{1+i}{1-i}$

2. $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3$

3. $(1+i\sqrt{2})^2$

4. $(1+i\sqrt{2})^3$

5. $(1-i\sqrt{5})^4$

6. $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i}$ $\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{1+i}$ :::

Exercice 28 [Les formules d'Euler]

Soit $\theta\in\mathbb{R}$

1. En utilisant la forme trigonométrique, montrer que

\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \end{matrix}

2. Montrer de même que

\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \end{matrix}\$\$

Exercice 29

En utilisant les formule d'Euler , établir les identités suivantes

1. $\cos(\theta)^2 = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$

2. $\sin(\theta)^2 = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$

3. $\sin(\theta)^2\cos(\theta)^2 = \frac{1-\cos 4\theta}{8}$

4. $\cos(\theta)^3 = \frac{3\cos\theta-\cos 3\theta}{4}$

Exercice 31

Pour chacun des nombres complexes suivants, dire s'il est sous forme trigonométrique et déterminer, si c'est le cas, son module et son argument.

1. $z_1 = 5\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

2. $z_2 = -2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

3. $z_3 = \cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5}$

4. $z_4 = 3\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

5. $z_5 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

6. $z_6 = 3i\sin\frac{\pi}{2}$

7. $z_7 = \frac{3}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

8. $z_8 = 4\left(\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\right)$

Solution ▼ ▲

1. $z_1$ est sous forme trigonométrique et on a $|z_1|=5$ et $\arg(z_1)=\frac{\pi}{3}$.

2. $z_2$ n'est pas sous forme trigonométrique.

3. $z_3$ est sous forme trigonométrique et on a $|z_3|=\sqrt{2}$ et $\arg(z_3)=\frac{3\pi}{2}$.

4. $z_4$ est sous forme trigonométrique et on a $|z_4|=1$ et $\arg(z_4)=\frac{\pi}{5}$.

5. $z_5$ n'est pas sous forme trigonométrique.

6. $z_6$ n'est pas sous forme trigonométrique.

7. $z_7$ est sous forme trigonométrique comme $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ et on a $|z_7|=3$ et $\arg(z_7)=\frac{\pi}{2}$.

8. $z_8$ est sous forme trigonométrique et on a $|z_8|=\frac{3}{2}$ et $\arg(z_8)=\frac{\pi}{3}$.

Exercice 32

Mettre les résultats des opérations suivantes sous forme exponentielle :

1. $e^{2i\frac{\pi}{6}}\times e^{3i\frac{\pi}{6}}$

2. $\frac{1}{e^{i\frac{\pi}{7}}}$

3. $\frac{e^{i\frac{\pi}{5}}}{e^{4}i\frac{\pi}{5}}$

4. $\left(e^{2i\frac{\pi}{9}}\right)^2$

Solution ▼ ▲

5. $e^{5i\frac{\pi}{6}}$

6. $e^{-i\frac{\pi}{7}}$

7. $e^{-3i\frac{\pi}{5}}$

8. $e^{4i\frac{\pi}{9}}$

Forme trigonométrique

Exercice 34

Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1. $7$

2. $5i$

3. $-2-2i$

4. $i + \sqrt{3}$

5. $-5$

6. $-2+2i\sqrt{3}$

7. $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

8. $\frac{1}{3} - \frac{i}{3}$ :::

Exercice 35

Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

1. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{2}{\frac{\pi}{2}}$

2. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{5}{\frac{\pi}{3}}$

3. $\cos(\pi)+i\sin(\pi)$

4. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{3}{\frac{3\pi}{2}}$

5. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{\sqrt{2}}{\frac{2\pi}{3}}$

6. $\newcommand{\formetrigo}[2]{#1\left(\cos\left(#2\right)+i\sin\left(#2\right)\right)}\formetrigo{\frac{2}{3}}{-\frac{\pi}{6}}$

7. $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ :::

Exercice 36 [Question ouverte]

On considère les points suivants dans le plan complexe

Déterminer une écriture sous forme trigonométrique des affixes des points $A$, $B$, $C$ et $D$.

Exercice 37

Donner une valeur approchée au centième d'un argument de chacun des nombres complexes suivants :

1. $4-3i$

2. $1+2i$

3. $-2 + i$

4. $-3-i$ :::

Exercice 38

On considère le nombre complexe $z= \frac{2}{1-i}$.

1. Déterminer sa forme trigonométrique de deux façons différentes.

2. En déduire que $z^8$ est un nombre réel.

3. Généraliser le calcul précédent. :::

Exercice 39

On considère un nombre complexe $z$ tel que

|z| &= 2\\ \arg(z) & =\frac{5\pi}{6} \end{matrix}

1. Déterminer les écritures trigonométriques et algébriques de $z$.

2. Déterminer l'écriture algébrique de $\frac{1}{z}.$

3. Déterminer, par deux méthodes différentes, l'écriture algébrique de $\frac{1}{\bar{z}}.$

Exercice 40 []

On considère les nombres complexes

z=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2} \text{ et} z'=1-i \end{matrix}\$\$ 1. Déterminer le module et un argument de $z$, $z'$ et $\frac{z}{z'}$. 2. Déterminer la forme algébrique de $\frac{z}{z'}$. 3. En déduire que

\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{matrix}$$ et

\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. \end{matrix}\$\$ <Solution> 1. On a $|z|= \frac{|\sqrt{6}-i\sqrt{2}|}{2}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}$. On en déduit que $z=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right).$ Ce qui donne l'écriture trigonométrique de $z$. On en déduit $|z|=\sqrt{2}$ et $\arg(z)=-\frac{\pi}{6}.$ De même $|z'|=\sqrt{2}$ et $\arg(z')=-\frac{\pi}{4}.$ Par les règles sur les modules et les arguments : $\left|\frac{z}{z'}\right|=1$ et $\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\frac{\pi}{12}.$ 2. $\left(\frac{z}{z'}\right)=\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{2(1-i)}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}.$ 3. On a donc $\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}= \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$. Cela donne le résulat demandé par égalité des parties réelles et imaginaires. </Solution>

Forme exponentielle

Exercice 41

Mettre les nombres complexes suivants sous forme exponentielle :

1. $-2 + 2i$

2. $1 - i$

3. $-3 - 3i$

4. $\sqrt{3} + i$

5. $3i$

6. $3$

7. $-i$

8. $2 + 2i\sqrt{3}$ :::

Exercice 42

Mettre les nombres complexes suivants sous forme exponentielle :

1. $1 + i$

2. $3 - 3i$

3. $\frac{1}{2} +\frac{i}{2}$

4. $-\sqrt{6} + i\sqrt{2}$

5. $2713$

6. $\frac{1-i\sqrt{3}}{3}$

7. $\frac{i -1}{1+i}$

8. $i\sqrt{2}$ :::

Exercice 43

Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

1. $4e^{i\frac{\pi}{3}}$

2. $3e^{i\frac{\pi}{4}}$

3. $\sqrt{2}e^{i\pi}$

4. $2e^{2i\pi}$

5. $e^{i\frac{\pi}{2}}$

6. $\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$ :::

Exercice 44

Effectuer les calculs suivants. Donner le résultat sous forme exponentielle

1. $5e^{i\frac{\pi}{6}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}$

2. $2e^{i\frac{\pi}{2}}\times 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

3. $e^{i\frac{\pi}{2}}×(-e^{i\pi})$

4. $\frac{8e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}}$

5. $\frac{2e^{i\frac{\pi}{2}}}{e^{i\pi}}$

6. $\frac{e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{6}}}$ :::

Exercice 45

Effectuer les calculs suivants. Donner le résultat sous forme exponentielle

1. $\frac{8e^{i\frac{4\pi}{3}}\times \frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}}$

2. $\frac{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2e^{i\pi}\times 3e^{i\frac{\pi}{2}}}$

3. $e^{i\frac{\pi}{6}}+e^{i\frac{\pi}{3}}$

4. $\frac{\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^2}{\left(e^{-i\pi}\right)^2}$ :::

Exercice 46

Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

1. $\frac{1+i}{1-i}$

2. $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3$

3. $(1+i\sqrt{2})^2$

4. $(1+i\sqrt{2})^3$

5. $(1-i\sqrt{5})^4$

6. $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i}$ $\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{1+i}$

Solution ▼ ▲

1. $\frac{1+i}{1-i}=\frac{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}=e^{i\frac{\pi}{2}}=i$

2. $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3=(i)^3=-i$

3. $(1+i\sqrt{3})^2=\left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^2=4e^{i\frac{2\pi}{3}}$

4. $(1+i\sqrt{3})^3=\left(2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^3=8e^{i\pi}=-8$

Exercice 47

On considère le nombre complexe $z=1-i$.

1. Mettre $z$ sous forme exponentielle.

2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ multiple de $4$, $z^n$ est un nombre entier pair. :::

Exercice 48

Dans le plan complexe on considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=\sqrt{3}-i$. On pose $r=e^{i \frac{\pi}{3}}$.

1. Déterminer la forme exponentielle de $z_{A}'=z_{A}\times r$.

2. En déduire le module et un argument de $z_{A}'$.

3. Plus généralement pour un complexe $z$ quelconque, on considère le complexe $z'=r\times z$. Déterminer le module et un argument de $z'$ en fonction de ceux de $z$.

4. Donner un procédé de construction géométrique permettant de construire facilement le point d'affixe $z'$ à partir du point d'affixe $z$. :::

Exercice 49 [Les formules d'Euler]

Soit $\theta\in\mathbb{R}$

1. En utilisant la forme trigonométrique, montrer que

\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}. \end{matrix}

2. Montrer de même que

\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. \end{matrix}\$\$

Exercice 50

En utilisant les formules d'Euler , établir les identités suivantes :

1. $\cos^2(\theta) = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$

2. $\sin^2(\theta) = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$

3. $\sin^2(\theta)\cos^2(\theta) = \frac{1-\cos 4\theta}{8}$

4. $\cos^3(\theta) = \frac{3\cos\theta+\cos 3\theta}{4}$ :::

Exercice 51

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On pose $z_a=e^{i a}$ et $z_b=e^{i b}$.

1. Donner la forme exponentielle du complexe :

   $Z=z_a \times z_b.$

2. Calculer de deux façons la forme algébrique de $Z$ et en déduire les formules d'addition pour $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b).$ :::

Exercice 52

Pour tout $\theta \in \R$ on considère le complexe

$z_{\theta}=1+e^{i\theta}.$

1. A l'aide d'une factorisation par $e ^{i\frac{\theta}{2}}$ démontrer que $z_{\theta}= e^{i \frac{\theta}{2}}\times 2\cos\theta$ (on pourra employer les formules de l'exercice .

2. En déduire le module et l'argument de $z_{\theta}$ en fonction de $\theta$ pour $\theta \in ]-\pi;\pi]$.

3. Démontrer que tous les points $M_{\theta}$ d'affixe $z_{\theta}$ se trouve sur le cercle de centre $A(1)$ et rayon 1. :::