Orthogonalité dans l'espace

Droites orthogonales

Définition [Orthogonalité de deux droites]

Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles passant par un même point sont perpendiculaires dans le plan qu'elles définissent.

Remarque

Deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais la réciproque est fausse.

Exemple

Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-contre, $(EF)//(HG)$ et $(HG)\perp (GC)$ donc $(EF)$ et $(GC)$ sont orthogonales. On note $(EF)\perp (GC)$.

Définition [Orthogonalité d’une droite et d’un plan]

Une droite est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Théorème

Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan alors elle est orthogonale à ce plan.

Méthode [Démontrer l'orthogonalité de deux droites]

Exercice:

Dans le cube $ABCDEFGH$ représenté dans l'exemple précédent, démontrer que $(GC)\perp (BD)$.

Correction

La droite $(GC)$ est perpendiculaire à $(BC)$ et à $(CD)$ qui sont deux droites sécantes du plan $(ABC)$ donc $(GC)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ donc à toutes les droites de ce plan. En particulier, on en déduit que $(GC)\perp (BD)$.