Calcul matriciel
Définitions et vocabulaire
Définition: Matrice
Une matrice de taille m×n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes qui s’écrit sous la forme :
![Image](/assets/img/figure1.e397ee60.svg)
Le nombre aij (avec 1⩽i⩽m et 1⩽j⩽n) est situé dans la i-ième ligne et la j-ième colonne.
Il est appelé un coefficient de la matrice.
Remarque
En général, on note une matrice avec une lettre majuscule ou avec le coefficient général entre parenthèses, par exemple (aij).
Si i>9 ou j>9, on écrira par exemple a1,11 et pas a111 pour éviter la confusion avec a11,1.
Exemple
Soit A=(aij) la matrice de taille 2×3 égale à (437−1−58) .\
Le coefficient a12 vaut 7. Le coefficient a21 vaut 3.
Définition: Matrice ligne, matrice colonne, matrice carrée
Une matrice de taille 1×n est appelée matrice ligne de taille n.
Une matrice de taille n×1 est appelée matrice colonne de taille n.
Une matrice de taille n×n est appelée matrice carrée d'ordre n.
Exemple
A=(4−21), B=(4−2) et C=(cosθsinθ−sinθcosθ) sont respectivement une matrice ligne de taille 3, une matrice colonne de taille 2 et une matrice carrée d'ordre 2.
Définition: Matrices égales
Deux matrices A=(aij) et B=(bij) sont égales si elles ont la même taille m×n et si,
pour tout couple (i;j) tel que 1⩽i⩽m et 1⩽j⩽n, on a aij=bij.
Définition: Matrice diagonale
Une matrice diagonale (aij) est une matrice carrée dont les coefficients à l'extérieur
de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire tels que aij=0 pour i=j.
⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛a10⋮00a2⋱⋯⋯⋱⋱00⋮0an⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
Remarque
Une matrice diagonale se note aussi diag(a1,a2,…,an).
Dans une matrice diagonale, un ou plusieurs coefficients ai peuvent être nuls.
Définition: Matrice identité
La matrice identité d'ordre n, dont la diagonale principale ne contient que des 1.
Exemple
L'identité d'ordre 3 est I3=⎝⎜⎛100010001⎠⎟⎞. On peut aussi la noter diag(1,1,1).
Remarque
S'il n'y a pas d'ambiguïté, on note l'identité I sans préciser son ordre en indice.
Définition: Matrice transposée
La matrice transposée d'une matrice A de taille m×n est la matrice notée AT,
de taille n×m, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
Exemple
(142536)T=⎝⎜⎛123456⎠⎟⎞ ;
(1324)T=(1234) ; (0,30,7)T=(0,30,7).
Opérations sur les matrices
Somme de deux matrices
Définition: Somme de deux matrices
Soit A=(aij) et B=(bij) deux matrices de même taille m×n.
La somme des matrices A et B est la matrice notée A+B définie par :
A+B=(cij) avec cij=aij+bij pour tout couple (i;j) tel que 1⩽i⩽m et 1⩽j⩽n.
Exemple
Soit A=(−3−153) et B=(24−50).
A+B=(−3+2−1+45−53+0)=(−1303).
Propriété
Soit A, B, C trois matrices de même taille.
Définition: Différence de deux matrices
Soit A et B deux matrices de même taille.
La différence des matrices A et B est la matrice notée A−B égale à la somme A+(−B) où −B est
la matrice opposée de B dont les coefficients sont les opposés des coefficients de B.
Exemple
Soit A=(−3−153) et B=(24−50).
A−B=A+(−B)=(−3−153)+(−2−450)=(−3−2−1−45+53+0)=(−5−5103).
Produit d'une matrice par un réel
Définition: Produit d'une matrice par un réel
Soit A une matrice et k un nombre réel.
Le Produit d'une matrice par un réel de A par le réel k est la matrice notée kA dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k.
Exemple
A=(3,5−1−50,52,5−5,5).
Alors, −2A=(−2×3,5−2×(−1)−2×(−5)−2×0,5−2×2,5−2×(−5,5))=(−7210−1−511).
Propriété
Soit A et B deux matrices de même taille et deux réels k et k′.
0A=0 et 1A=A
k(A+B)=kA+kB
(k+k′)A=kA+k′A
(kk′)A=k(k′A)
Remarque
Dans l'égalité 0A=0, le 0 de gauche est un réel mais celui de droite désigne la matrice nulle,
matrice ayant la même taille que A et dont tous les coefficients sont nuls.
Produit de deux matrices
Définition: Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne
Le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne de la matrice ligne A=(a1⋯an) par la matrice colonne B=⎝⎜⎜⎛b1⋮bn⎠⎟⎟⎞ est noté AB et est égal au réel i=1∑naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn.
Exemple
Soit A=(30−2) et B=⎝⎜⎛−1−4−2⎠⎟⎞. AB=3×(−1)+0×(−4)−2×(−2)=1.
Définition: Produit de deux matrices
Soit A une matrice de taille m×n et B une matrice de taille n×p.
Le produit de deux matrices de A par B, noté AB, est la matrice C=(cij) de taille m×p telle que cij est égal au produit de la i-ième ligne de A par la j-ième colonne de B.
![Image](/assets/img/figure2.347f5977.svg)
Remarques
Le produit d'une matrice A par une matrice B n'existe qu'à condition que le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B.
Si le produit d'une matrice A par une matrice B existe, en général, il n'est pas commutatif : en premier lieu, BA n'existe pas toujours
(il n'existe que si A et B sont des matrices carrées) et, même si c'est le cas, généralement on n'a pas AB=BA.
Méthode: Multiplier deux matrices
Pour calculer la matrice C égale à AB, on vérifie que le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, puis on dispose
les matrices suivant le schéma
![Image](/assets/img/figure3.638329b6.svg)
Exercice
Soit
A=(1−2305−3−22) et B=⎝⎜⎜⎜⎛23021−1−2−3−302−4⎠⎟⎟⎟⎞. Calculer AB.
Solution
A est de taille 2×4 et B de taille 4×3.
A a autant de colonnes que B a de lignes, donc C=AB existe et sa taille est 2×3.
On dispose les matrices comme ci-contre: ![Image](/assets/img/figure4.5a798045.svg)
On calcule alors, par exemple :
c11=1×2+3×3+5×0−2×2=7.
Remarque
Il n'est pas nécessaire que l'une des matrices A ou B soit nulle pour que AB=0.
Exemple
Soit A=(10−10) et B=(112233). Alors, AB=(000000).
Propriétés
Soit A, B et C trois matrices compatibles avec les produits écrits ci-après et soit k un réel.
(AB)C=A(BC)=ABC (associativité)
A(B+C)=AB+AC et (A+B)C=AC+BC (distributivité)
(kA)B=A(kB)=k(AB)
AI=IA=A et A0=0A=0
Puissance d'une matrice carrée
Définition
Soit A une matrice carrée et n un entier naturel.
La puissance n-ième de A est la matrice notée An égale :
Exemple
Soit A=(200−3).
Alors, A0=(1001) ; A2=(200−3)(200−3)=(4009).
On peut démontrer par récurrence que, pout tout n∈N, An=(2n00(−3)n).
Méthode: Effectuer un calcul matriciel avec la calculatrice
Exercice:
Soit
A=⎝⎜⎛10−1−1100−11⎠⎟⎞ et B=⎝⎜⎛321232123⎠⎟⎞. Calculer A2−2AB+B2.
Correction
Avec une calculatrice TI
Entrer dans le mode "Matrice" puis le menu "EDIT".
Saisir la taille de la matrice A puis ses coefficients. Pour les coefficients négatifs, utiliser la touche "(-)". Faire de même pour B.
Quitter le mode "Matrice" puis y entrer à nouveau et, dans le menu "NOMS", sélectionner la matrice
.
Compléter la formule et taper "Entrer".
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Avec une calculatrice ![Image](data:image/png;base64,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Entrer dans le menu "RUN-MAT" puis choisir
(touche F3).
Saisir la taille de la matrice A puis ses coefficients. Faire de même pour B.
Quitter
, taper la formule en faisant précéder chaque nom de matrice par "Mat" (touches SHIFT puis 2) :
. Exécuter.
![Image](data:image/png;base64,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)
Matrices inversibles
Inverse d'une matrice carrée
Définition: Inverse d'une matrice carrée
Une matrice carrée A d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que AB=BA=I.
La matrice B, notée A−1, est appelée la
matrice inverse de A.
Exemple
Soit A=(3457) et B=(7−4−53). AB=BA=(1001) donc B est l'inverse de A.
Propriété
Si une matrice est inversible, alors son inverse est unique.
Preuve
Soit A une matrice inversible ayant deux inverses B et C.\
On a B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C. Ainsi, B=C. Donc, l'inverse de A est unique.
Propriété
Si AB=I, alors A est inversible et B=A−1.
Remarque
Il suffit donc seulement de vérifier l'une des égalités AB=I ou BA=I pour montrer que A et B sont inverses l'une de l'autre.
Exemple
Soit A=⎝⎜⎛1−231−1−2001⎠⎟⎞ et
B=⎝⎜⎛−127−115001⎠⎟⎞. Alors, AB=⎝⎜⎛100010001⎠⎟⎞=I.
Donc A et B sont inverses l'une de l'autre et on a les égalités A−1=B et B−1=A.
Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Définition: Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Le déterminant de la matrice M=(acbd) est le réel noté det(M) ou ∣∣∣∣∣acbd∣∣∣∣∣ égal à ad−bc.
Théorème: Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
On prend M=0.
La matrice M=(acbd) est inversible si, et seulement si, ad−bc=0.\
Si A est inversible, alors A−1=ad−bc1(d−c−ba)=det(A)1(d−c−ba).
Preuve
Soit N=(d−c−ba). Alors,
MN=(acbd)(d−c−ba)=(ad−bc00ad−bc).
Si ad−bc=0, alors ad−bc1MN=I⇔M(ad−bc1N)=I.\
Donc M est inversible et son inverse est ad−bc1N=ad−bc1(d−c−ba).
Si ad−bc=0, alors MN=0. Supposons alors que M soit inversible, d'inverse P.\
Alors, on aurait PMN=IN=N et PMN=P0=0 et donc N=0, ce qui est absurde car M=0.
On a donc montré que si ad−bc=0 alors M est inversible, et si ad−bd=0 alors M n'est pas inversible. On obtient donc l'équivalence demandée.
Remarque
Un peu logique: si A et B sont deux propositions, alors (A⇒B)⟺(non(B)⇒non(A))
En revenant à la démonstration prédente: notons A la proposition "ad−bc=0" et B la proposition "M est inversible"
On montre dans un premier temps que A⇒B
On montre ensuite que non(A)⇒non(B), ce qui nous donne bien B⇒A.
Remarques
Toute matrice carrée admet un déterminant et un seul, mais pour un ordre strictement supérieur à 2,
il n'existe pas de formule simple pour le calculer et on utilisera une calculatrice ou un logiciel de calcul formel.
Le déterminant non nul est un critère d'inversibilité d'une matrice carrée de tout ordre.
Exemple
A=(3286). Alors, det(A)=∣∣∣∣∣3286∣∣∣∣∣=3×6−2×8=18−16=2=0.
Ainsi, A est inversible et A−1=21(6−2−83)=(3−1−41,5).
Résolution d'un système linéaire
Propriété: Écriture matricielle d'un système
Le système linéaire
{ax+bya′x+b′y==cc′
a pour écriture matricielle
(aa′bb′)(xy)=(cc′).
Preuve
(aa′bb′)(xy)=(cc′)⇔(ax+bya′x+b′y)=(cc′)⇔{ax+bya′x+b′y==cc′.
Remarque
Cette propriété se généralise à un système de dimension quelconque.
Exemple
(23−3−21−1)⎝⎜⎛xyz⎠⎟⎞=(7−5) correspond au système
{2x−3y+z3x−2y−z==7−5.
Propriété
Soit A une matrice carrée inversible d'ordre n et B une matrice colonne de taille n.
Alors, le système linéaire d'écriture matricielle AX=B admet une unique solution :
le n-uplet correspondant à la matrice colonne A−1B.
Preuve
Soit un système linéaire d'écriture matricielle AX=B où A est inversible.
Alors, on a :
AX=B⇔A−1AX=A−1B⇔IX=A−1B⇔X=A−1B.
Méthode: Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Exercice:
Résoudre le système linéaire
{2x+5y3x−4y==815.
Correction
On résout l'équation AX=B où
A=(235−4), X=(xy) et B=(815).
On calcule det(A)=−4×2−3×5=−23. Comme det(A)=0, alors A est inversible.
Donc, l'équation AX=B a pour unique solution X=A−1B.
On calcule X=23−1(−4−3−52)(815)=23−1(−4×8−5×15−3×8+2×15)=(107/23−6/23).
Le système admet donc pour unique solution le couple (23107;23−6).
Remarque
Un système linéaire d'écriture matricielle AX=B où A n'est pas inversible a soit une infinité de solutions, soit aucune.
Exemple
Le système {3x+6y4x+8y==ab s'écrit matriciellement AX=B où A=(3468).
Or, det(A)=0 donc A n'est pas inversible.
Dans le système, multiplions l'équation du haut par 4 et celle du bas par 3. On obtient :
{12x+24y12x+24y==4a3b ce qui entraîne que 4a=3b toujours vrai, ou jamais.