Calcul matriciel

Définitions et vocabulaire

Définition: Matrice

Une matrice de taille $m\times n$ est un tableau de nombres formé de $m$ lignes et $n$ colonnes qui s’écrit sous la forme :

Le nombre $a_{ij}$ (avec $1\leqslant i \leqslant m$ et $1\leqslant j \leqslant n$) est situé dans la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne.

Il est appelé un coefficient de la matrice.

Remarque

En général, on note une matrice avec une lettre majuscule ou avec le coefficient général entre parenthèses, par exemple $(a_{ij})$.

Si $i>9$ ou $j>9$, on écrira par exemple $a_{1,11}$ et pas $a_{111}$ pour éviter la confusion avec $a_{11,1}$.

Exemple

Soit $A=(a_{ij})$ la matrice de taille $2\times3$ égale à $\left(\begin{array}{ccc} 4 & 7 & -5 \\ 3 & -1 & 8 \\ \end{array}\right)$ .\ Le coefficient $a_{12}$ vaut $7$. Le coefficient $a_{21}$ vaut $3$.

Définition: Matrice ligne, matrice colonne, matrice carrée

• Une matrice de taille $1\times n$ est appelée matrice ligne de taille $n$.

• Une matrice de taille $n\times 1$ est appelée matrice colonne de taille $n$.

• Une matrice de taille $n\times n$ est appelée matrice carrée d'ordre $n$.

Exemple

$A=\begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ sont respectivement une matrice ligne de taille $3$, une matrice colonne de taille $2$ et une matrice carrée d'ordre $2$.

Définition: Matrices égales

Deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ sont égales si elles ont la même taille $m\times n$ et si, pour tout couple $(i;j)$ tel que $1\leqslant i \leqslant m$ et $1\leqslant j \leqslant n$, on a $a_{ij}=b_{ij}$.

Définition: Matrice diagonale

Une matrice diagonale $(a_{ij})$ est une matrice carrée dont les coefficients à l'extérieur de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire tels que $a_{ij}=0$ pour $i\neq j$.

$\left(\begin{array}{cccc} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & a_n \end{array}\right)$

Remarque

Une matrice diagonale se note aussi $\boldsymbol{\text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)}$.

Dans une matrice diagonale, un ou plusieurs coefficients $a_{i}$ peuvent être nuls.

Définition: Matrice identité

La matrice identité d'ordre $\boldsymbol{n}$, dont la diagonale principale ne contient que des $1$.

Exemple

L'identité d'ordre 3 est $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. On peut aussi la noter $\mathrm{diag}(1, 1, 1)$.

Remarque

S'il n'y a pas d'ambiguïté, on note l'identité $I$ sans préciser son ordre en indice.

Définition: Matrice transposée

La matrice transposée d'une matrice $A$ de taille $m\times n$ est la matrice notée $\boldsymbol{A^\mathsf{T}}$, de taille $n\times m$, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.

Exemple

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}^\mathsf{T}=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ; $\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^\mathsf{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ; $\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix}^\mathsf{T}=\begin{pmatrix}0,3 \\ 0,7 \end{pmatrix}$.

Opérations sur les matrices

Somme de deux matrices

Définition: Somme de deux matrices

Soit $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ deux matrices de même taille $m\times n$.

La somme des matrices $A$ et $B$ est la matrice notée $A+B$ définie par :

$A+B=(c_{ij})$ avec $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ pour tout couple $(i;j)$ tel que $1\leqslant i\leqslant m$ et $1\leqslant j\leqslant n$.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 4 & 0 \\ \end{pmatrix}$.

$A+B=\begin{pmatrix} -3+2 & 5-5 \\ -1+4 & 3+0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix}$.

Propriété

Soit $A$, $B$, $C$ trois matrices de même taille.

• $A+B=B+A$ (commutativité)

• $(A+B)+C=A+(B+C)$ (associativité)

Définition: Différence de deux matrices

Soit $A$ et $B$ deux matrices de même taille.

La différence des matrices $A$ et $B$ est la matrice notée $A-B$ égale à la somme $A+(-B)$ où $-B$ est la matrice opposée de $B$ dont les coefficients sont les opposés des coefficients de $B$.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 4 & 0 \\ \end{pmatrix}$.

$A-B=A+(-B)= \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -4 & 0 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3-2 & 5+5 \\ -1-4 & 3+0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 & 10 \\ -5 & 3 \\ \end{pmatrix}$.

Produit d'une matrice par un réel

Définition: Produit d'une matrice par un réel

Soit $A$ une matrice et $k$ un nombre réel.

Le Produit d'une matrice par un réel de $A$ par le réel $k$ est la matrice notée $kA$ dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de $A$ par $k$.

Exemple

$A=\begin{pmatrix} 3,5 & -5 & 2,5\\ -1 & 0,5 & -5,5 \end{pmatrix}$.

Alors, $-2A=\begin{pmatrix} -2\times3,5 & -2\times(-5) & -2\times2,5\\ -2\times(-1) & -2\times0,5 & -2\times(-5,5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & 10 & -5 \\ 2 & -1 & 11 \\ \end{pmatrix}$.

Propriété

Soit $A$ et $B$ deux matrices de même taille et deux réels $k$ et $k'$.

• $0A=0$ et $1A=A$

• $k(A+B)=kA+kB$

• $(k+k')A=kA+k'A$

• $(kk')A=k(k'A)$

Remarque

Dans l'égalité $0A=0$, le $0$ de gauche est un réel mais celui de droite désigne la matrice nulle, matrice ayant la même taille que $A$ et dont tous les coefficients sont nuls.

Produit de deux matrices

Définition: Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne

Le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne de la matrice ligne $A=\begin{pmatrix} a_1 & \cdots & a_n \end{pmatrix}$ par la matrice colonne $B=\begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ est noté $AB$ et est égal au réel $\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -1\\ -4\\ -2 \end{pmatrix}$. $AB=3\times(-1)+0\times(-4)-2\times(-2)=1$.

Définition: Produit de deux matrices

Soit $A$ une matrice de taille $m\times n$ et $B$ une matrice de taille $n\times p$.

Le produit de deux matrices de $A$ par $B$, noté $AB$, est la matrice $C=(c_{ij})$ de taille $m\times p$ telle que $c_{ij}$ est égal au produit de la $i$-ième ligne de $A$ par la $j$-ième colonne de $B$.

Remarques

• Le produit d'une matrice $A$ par une matrice $B$ n'existe qu'à condition que le nombre de colonnes de $A$ soit égale au nombre de lignes de $B$.

• Si le produit d'une matrice $A$ par une matrice $B$ existe, en général, il n'est pas commutatif : en premier lieu, $BA$ n'existe pas toujours (il n'existe que si $A$ et $B$ sont des matrices carrées) et, même si c'est le cas, généralement on n'a pas $AB=BA$.

Méthode: Multiplier deux matrices

Pour calculer la matrice $C$ égale à $AB$, on vérifie que le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$, puis on dispose les matrices suivant le schéma

Exercice

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & -2 \\ -2 & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & -4 \end{pmatrix}$. Calculer $AB$.

Solution

$A$ est de taille $2\times4$ et $B$ de taille $4\times3$.

$A$ a autant de colonnes que $B$ a de lignes, donc $C=AB$ existe et sa taille est $2\times3$.

On dispose les matrices comme ci-contre:

On calcule alors, par exemple :

$c_{11}=\mathbf{1\times2+3\times3+5\times0-2\times2=7}$.

Remarque

Il n'est pas nécessaire que l'une des matrices $A$ ou $B$ soit nulle pour que $AB\!=\!0$.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$. Alors, $AB=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

Propriétés

Soit $A$, $B$ et $C$ trois matrices compatibles avec les produits écrits ci-après et soit $k$ un réel.

• $(AB)C = A(BC) = ABC$ (associativité)

• $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$ (distributivité)

• $(kA)B=A(kB)=k(AB)$

• $AI=IA=A$ et $A0=0A=0$

Puissance d'une matrice carrée

Définition

Soit $A$ une matrice carrée et $n$ un entier naturel.

La puissance $n$-ième de $A$ est la matrice notée $A^n$ égale :

• au produit de $n$ facteurs $A$ si $n\neq0$ ;

• à la matrice identité $I$ de même ordre que celui de $A$ si $n=0$.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$. Alors, $A^0=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ; $A^2=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$.

On peut démontrer par récurrence que, pout tout $n\in\mathbb{N}$, $A^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-3)^n \end{pmatrix}$.

Méthode: Effectuer un calcul matriciel avec la calculatrice

Exercice:

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2-2AB+B^2$.

Correction

Avec une calculatrice TI

• Entrer dans le mode "Matrice" puis le menu "EDIT".

• Saisir la taille de la matrice $A$ puis ses coefficients. Pour les coefficients négatifs, utiliser la touche "(-)". Faire de même pour $B$.

• Quitter le mode "Matrice" puis y entrer à nouveau et, dans le menu "NOMS", sélectionner la matrice . Compléter la formule et taper "Entrer".

Avec une calculatrice

• Entrer dans le menu "RUN-MAT" puis choisir (touche F3).

• Saisir la taille de la matrice $A$ puis ses coefficients. Faire de même pour $B$.

• Quitter , taper la formule en faisant précéder chaque nom de matrice par "Mat" (touches SHIFT puis 2) : . Exécuter.

Matrices inversibles

Inverse d'une matrice carrée

Définition: Inverse d'une matrice carrée

Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible s’il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que $AB=BA=I$.

La matrice $B$, notée $\boldsymbol{A^{-1}}$, est appelée la matrice inverse de $A$.

Exemple

Soit $A\hskip-.5mm=\hskip-.5mm\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ et $B\hskip-.5mm=\hskip-.5mm\begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$. $AB\hskip-.5mm=\hskip-.5mmBA\hskip-.5mm=\hskip-.5mm\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ donc $B$ est l'inverse de $A$.

Propriété

Si une matrice est inversible, alors son inverse est unique.

Preuve

Soit $A$ une matrice inversible ayant deux inverses $B$ et $C$.\ On a $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$. Ainsi, $B=C$. Donc, l'inverse de $A$ est unique.

Propriété

Si $AB=I$, alors $A$ est inversible et $B=A^{-1}$.

Remarque

Il suffit donc seulement de vérifier l'une des égalités $AB=I$ ou $BA=I$ pour montrer que $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre.

Exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -2 & -1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 1 \end{pmatrix}$. Alors, $AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$.

Donc $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre et on a les égalités $A^{-1}=B$ et $B^{-1}=A$.

Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2

Définition: Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2

Le déterminant de la matrice $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est le réel noté $\det(M)$ ou $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ égal à $ad-bc$.

Théorème: Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2

On prend $M \neq 0$.

• La matrice $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si, et seulement si, $ad-bc\neq0$.\

• Si $A$ est inversible, alors $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}=\dfrac{1}{\text{det}(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Preuve

Soit $N=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Alors, $MN=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}$.

• Si $ad-bc\neq0$, alors $\dfrac{1}{ad-bc}MN=I\Leftrightarrow M\left(\dfrac{1}{ad-bc}N\right)=I$.\ Donc $M$ est inversible et son inverse est $\dfrac{1}{ad-bc}N=\dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

• Si $ad-bc=0$, alors $MN=0$. Supposons alors que $M$ soit inversible, d'inverse $P$.\ Alors, on aurait $PMN=IN=N$ et $PMN=P0=0$ et donc $N=0$, ce qui est absurde car $M \neq 0$.

• On a donc montré que si $ad-bc \neq 0$ alors $M$ est inversible, et si $ad-bd=0$ alors $M$ n'est pas inversible. On obtient donc l'équivalence demandée.

Remarque

Un peu logique: si $A$ et $B$ sont deux propositions, alors $(A \Rightarrow B) \iff (\text{non}(B) \Rightarrow \text{non}(A))$

En revenant à la démonstration prédente: notons $A$ la proposition "$ad-bc \neq 0$" et $B$ la proposition "$M$ est inversible"

On montre dans un premier temps que $A \Rightarrow B$

On montre ensuite que $\text{non}(A) \Rightarrow \text{non}(B)$, ce qui nous donne bien $B \Rightarrow A$.

Remarques

• Toute matrice carrée admet un déterminant et un seul, mais pour un ordre strictement supérieur à 2, il n'existe pas de formule simple pour le calculer et on utilisera une calculatrice ou un logiciel de calcul formel.

• Le déterminant non nul est un critère d'inversibilité d'une matrice carrée de tout ordre.

Exemple

$A=\begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6\end{pmatrix}$. Alors, $\det(A)=\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}=3\times6-2\times8=18-16=2\neq0$.

Ainsi, $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & -8 \\ -2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 1,5\end{pmatrix}$.

Résolution d'un système linéaire

Propriété: Écriture matricielle d'un système

Le système linéaire $\left\{\begin{array}{ccc} ax+by & = & c\\ a'x+b'y & = & c' \end{array}\right.$ a pour écriture matricielle $\begin{pmatrix} a & b \\ a' & b'\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c \\ c' \end{pmatrix}$.

Preuve

$\begin{pmatrix} a & b \\ a' & b'\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c \\ c' \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} ax+by \\ a'x+b'y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c \\ c' \end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} ax+by & = & c\\ a'x+b'y & = & c' \end{array}\right.$.

Remarque

Cette propriété se généralise à un système de dimension quelconque.

Exemple

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ -5 \end{pmatrix}$ correspond au système $\left\{\begin{array}{ccc} 2x-3y+z & = & 7\\ 3x-2y-z & = & -5 \end{array}\right.$.

Propriété

Soit $A$ une matrice carrée inversible d'ordre $n$ et $B$ une matrice colonne de taille $n$.

Alors, le système linéaire d'écriture matricielle $AX=B$ admet une unique solution :

le $n$-uplet correspondant à la matrice colonne $A^{-1}B$.

Preuve

Soit un système linéaire d'écriture matricielle $AX=B$ où $A$ est inversible.

Alors, on a : $AX=B \Leftrightarrow A^{-1}AX = A^{-1}B \Leftrightarrow IX=A^{-1}B \Leftrightarrow X=A^{-1}B$.

Méthode: Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Exercice:

Résoudre le système linéaire
$\left\{\begin{array}{lcc} 2x+5y & = & 8 \\ 3x-4y & = & 15 \end{array}\right.$.

Correction

On résout l'équation $AX=B$ où $A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}$.

On calcule $\det(A)=-4\times2-3\times5=-23$. Comme $\det(A)\neq0$, alors $A$ est inversible.

Donc, l'équation $AX=B$ a pour unique solution $X=A^{-1}B$.

On calcule $X=\dfrac{-1}{23}\begin{pmatrix} -4 & -5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}=\dfrac{-1}{23}\begin{pmatrix} -4\times8-5\times15 \\ -3\times8+2\times15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}107/23 \\ -6/23 \end{pmatrix}$.

Le système admet donc pour unique solution le couple $\left(\dfrac{107}{23};\dfrac{-6}{23}\right)$.

Remarque

Un système linéaire d'écriture matricielle $AX=B$ où $A$ n'est pas inversible a soit une infinité de solutions, soit aucune.

Exemple

Le système $\left\{\begin{array}{lcc} 3x+6y & = & a \\ 4x+8y & = & b \end{array}\right.$ s'écrit matriciellement $AX=B$ où $A=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$.

Or, $\det(A)=0$ donc $A$ n'est pas inversible.

Dans le système, multiplions l'équation du haut par 4 et celle du bas par 3. On obtient :

$\left\{\begin{array}{lcc} 12x+24y & = & 4a \\ 12x+24y & = & 3b \end{array}\right.$ ce qui entraîne que $4a=3b$ toujours vrai, ou jamais.