Complexes: Exercices type Bac

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S-Pondichery avril 2016 - Exo 2

Exercice 1 [S-Pondichery avril 2016 - Exo 2][3]

L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O; $\vec{u}$, $\vec{v}$), on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\overrightarrow{OA_0} = \overrightarrow{u}$.

On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre :

• les cinq côtés sont de même longueur;

• les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ;

• pour tout entier $k$ appartenant à $\{0;1;2;3\}$ on a

$\left(\overrightarrow{OA_k};\overrightarrow{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.

1. On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.

Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$.

Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.

$BJ^2 = BO^2 + OJ^2 = 1^2 + \left (\dfrac{1}{2}\right )^2 = \dfrac{5}{4} \Rightarrow BJ = \displaystyle\sqrt{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

$BK = BJ - KI = \dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

a) Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement.

b) Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.

c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification :

$\blacktriangleright$ Calcul formel:

$\begin{matrix} 1&cos (4*pi/5)\\ &\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)\\ \hline 2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline &\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)\\ \hline \end{matrix}$

En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.

$BA_2^2 = 2 + 2\times \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right) = 2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Donc $BA_2 = \displaystyle\sqrt{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{1}{2}\left (\sqrt{5}-1\right )$ d'après le logiciel de calcul formel.

On en déduit que $BA_2=BK$.

1. Dans le repère (O; $\vec{u}$, $\vec{v}$) donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

2. Soit $C$ le point de coordonnées (0;1). La médiatrice de $[\text{O}C]$ coupe l'axe des ordonnées au point $J$ de coordonnées $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

On place le point $B$ sur l'axe des abscisses, d'abscisse négative tel que OB = 2OJ, on construit $[BJ]$ et le cercle $\mathcal C$ centré en $J$ passant par $O$ donc de rayon $\dfrac{1}{2}$ ;

5. on obtient le point $K$ à l'intersection du cercle $\mathcal C$ et du segment $[BJ]$;

6. le cercle de centre $B$ de rayon $BK$ coupe le cercle unitaire aux points $A_2$ et $A_3$ ;

7. le cercle de centre $A_2$ passant par $A_3$ recoupe le cercle unitaire en $A_1$;

8. le cercle de centre $A_3$ passant par $A_2$ recoupe le cercle unitaire en $A_4$;

9. le point $A_0$ est le point d'affixe 1.

ANNEXE