On sait que $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc

$z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i} \sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + \text{i}$.

$\bullet~~$En remplaçant dans l'équation :

$(2 + \text{i})(1 + \text{i}) = 1 + 3\text{i} \iff 2 + 2\text{i} + \text{i} - 1 = 1 + 3\text{i}$ qui est vraie.

$\bullet~~$En résolvant l'équation :

$(2 + \text{i})z = 1 + 3\text{i} \iff z = \dfrac{1 + 3\text{i}}{(2 + \text{i})} = \dfrac{(1 + 3\text{i})(2 - \text{i})}{(2 + \text{i})(2 - \text{i})} = \dfrac{2 + 3 + 6\text{i} - \text{i}}{4 + 1} = \dfrac{5 + 5\text{i}}{5} = 1 + \text{i}$

On calcule d'abord le module de $z_2$ :

$\left|z_2\right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, donc $\left|z_2\right| = 2$.

On factorise ce module dans l'écriture de $z_2$ :

$z_2 = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

On reconnait $- \dfrac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{2\pi}{3}$, donc

$z_2 = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

On a donc $z_3 = 4\text{e}^{\frac{7\pi}{6}}$.

D'autre part $z_1^2 \times z_2 = \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right)^2\times 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\times 2\text{e}^{\frac{2\pi}{3}} = 4 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 4\text{e}{\text{i}\left(\frac{3\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}\right)} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$.

On a donc $z_3 = z_1^2 \times z_2$.

On a $\overrightarrow{\text{OB}} \begin{pmatrix}-1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{OC}} \begin{pmatrix}-2\sqrt{3}\\- 2\end{pmatrix}$.

Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = - 1 \times (-2\sqrt{3}) + \sqrt{3} \times (- 2) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0$ ; les vecteurs $\overrightarrow{\text{OB}}$ et $\overrightarrow{\text{OC}}$ sont orthogonaux, donc les droites (OB) et (OC) sont perpendiculaires, donc le triangle OBC est rectangle en O.

$|u|=...=2\sqrt{2}$ et après calculs on obtient: $\arg(u)=\frac{\pi}{4}$. En utilisant les propriétés sur les modules et arguments: $|u^{2020}|=|u|^{2020}=(2\sqrt{2})^{2020}=2^{2020}\times\sqrt{2}^{2020}=2^{2020}\times2^{1010}=2^{3030}$ $\arg\left(u^{2020}\right)=2020\times\arg(u)=2020\times\frac{\pi}{4}=505\pi \equiv \pi [2\pi]$. Donc $u$ a pour module $2^{3030}$ et argument $\pi$. Donc $u=-2^{3030}$ On a alors: $\overline{u}^{2020}=\overline{u^{2020}}=-2^{3030}$ et donc $u^{2020}+\bar{u}^{2020} = 2\times\left(-2^{3030}\right)= -2^{3031}$