Exercice 1: Les complexes sont nos amis 5.5 points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$.

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $a = - 4,\: b = 2$ et $c = 4$.

1. On considère les trois points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a'= \text{j}a$, $b'= \text{j}b$ et $c'= \text{j}c$ où j est le nombre complexe:

$j=-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

1. a) Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de j.

Exercice 2: Un peu de physique, mais pas trop\... 10 points

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1[ par:

$f(x) = bx + 2\ln (1- x)$

où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

1. La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[. On note $f'$ sa fonction dérivée.

1. a) Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1[ :

$f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.$

Exercice 3: VRAI-FAUX 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué deux points par réponse exacte correctement justifiée.

1. On considère dans $\R$ l'équation :

$\ln (6 x - 2) + \ln (2x - 1) = \ln (x).$

Affirmation l'équation admet deux solutions dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.

Exercice 4: Complexes: suites\... 10.5 points

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$.

On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n.$

On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

1.

1. a) Vérifier que :

$\dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.$