# PROGRESSION SPECIALITE PREMIERE sans les approfondissements

# Chapitre 1 : SECOND DEGRE

Durée: 3 semaines
Contenus:
- Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.
- Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe.
Capacités attendues:
- Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.
- Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.
- Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies: racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.−Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).
Démonstrations
- Résolution de l’équation du second degré.
- Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$

Remarques

Les élèves doivent savoir qu’une fonction polynôme du second degré admet une forme canonique, et être capables de la déterminer dans des cas simples à l’aide de l’identité $x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$ (méthode de complétion du carré). Le calcul effectif de la forme canonique dans le cas général n’est pas un attendu du programme. Les élèves sont entraînés à reconnaître et pratiquer la factorisation directe dans les cas qui s’y prêtent: racines apparentes, coefficient de x nul, racines entières détectées par calcul mental à partir de leur somme et de leur produit.

Algorithmes:
- Résolution de l’équation du second degré.
- Calculatrice + Python
Histoire:
- On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolutions d’équations du second degré. Le travail novateur d’Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l'état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l’absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis

# Chapitre 2 : SUITES NUMERIQUES GENERALITES

Durée: 2 semaines
Contenus:
- Exemples de modes de génération d’une suite: explicite $u_n=f(n)$ , par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ , par un algorithme, par des motifs géométriques. Notations: $u(n)$ , $u_n$ , $(u(n))$ , $(u_n)$ .
- Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite.
Capacités attendues:
- Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l’un à l’autre.
- Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
- Calculer des termes d’une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme.
Algorithmes:
- Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.
- Calcul de factorielle.
- Liste des premiers termes d’une suite: suites de Syracuse, suite de Fibonacci.
- Calculatrice et listes Python.
Histoire:
- Bien avant de faire l’objet d'une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations:approximation de nombres réels (encadrement deπpar Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d'Alexandrie);problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci...).Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIVesiècle.

	Durée	démonstrations	Algo	Histoire
Chapitre 1 : SECOND DEGRE Contenus− Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.−Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe. Capacités attendues− Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.−Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.−Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies: racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.−Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).Démonstration−Résolution de l’équation du second degré. Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation y=ax²+bx+c Les élèves doivent savoir qu’une fonction polynôme du second degré admet une forme canonique, et être capables de la déterminer dans des cas simples à l’aide de l’identitéx²+2ax=(x+a)²-a²(méthode de complétion du carré). Le calcul effectif de la forme canonique dans le cas général n’est pas un attendu du programme. Les élèves sont entraînés à reconnaître et pratiquer la factorisation directe dans les cas qui s’y prêtent: racines apparentes, coefficient de x nul, racines entières détectées par calcul mental à partir de leur somme et de leur produit		Résolution de l’équation du second degré	Résolution équation second degré calculatrice + Python	On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolutions d’équations du second degré. Le travail novateur d’Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l'état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l’absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis

Chapitre 1 : SECOND DEGRE

Contenus−

Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.−Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe.

Capacités attendues−

Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée.−Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.−Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies: racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.−Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).Démonstration−Résolution de l’équation du second degré.

Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation y=ax²+bx+c

Les élèves doivent savoir qu’une fonction polynôme du second degré admet une forme canonique, et être capables de la déterminer dans des cas simples à l’aide de l’identitéx²+2ax=(x+a)²-a²(méthode de complétion du carré). Le calcul effectif de la forme canonique dans le cas général n’est pas un attendu du programme. Les élèves sont entraînés à reconnaître et pratiquer la factorisation directe dans les cas qui s’y prêtent: racines apparentes, coefficient de x nul, racines entières détectées par calcul mental à partir de leur somme et de leur produit

Résolution de l’équation du second degré

Résolution équation second degré

calculatrice + Python

On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolutions d’équations du second degré. Le travail novateur d’Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l'état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l’absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis

	Durée	démonstrations	Algo	Histoire
Chapitre 2 : SUITES NUMERIQUES GENERALITES Contenus− Exemples de modes de génération d’une suite: explicite u_n=f(n), par une relation de récurrence u_n+1=f(u_n), par un algorithme, par des motifs géométriques. Notations: u(n), u_n, (u(n)), (u_n). −Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite. Capacités attendues− Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l’un à l’autre.−Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.−Calculer des termes d’une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme.			Exemples d’algorithme−Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.−Calcul de factorielle.−Liste des premiers termes d’une suite: suites de Syracuse, suite de Fibonacci. Calculatrice + Listes Python	Bien avant de faire l’objet d'une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations:−approximation de nombres réels (encadrement deπpar Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d'Alexandrie);−problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci...).Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIVesiècle.
Chapitre 3 : PROBABILITES CONDITIONNELLES Contenus− Probabilité conditionnelle d’un événement B sachant un événement Ade probabilité non nulle. Notation PA(B). Indépendance de deux événements.−Arbres pondérés et calcul de probabilités: règle du produit, de la somme.−Partition de l’univers (systèmes complets d’événements). Formule des probabilités totales.−Succession de deux épreuves indépendantes .Représentation par un arbre ou un tableau. Capacités attendues− Construire un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée. Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.−Utiliser un arbre pondéré ou un tableau pour calculer une probabilité.−Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs (tirage au sort avec équiprobabilité d’un individu dans une population).−Dans des cas simples, calculer une probabilité à l’aide de la formule des probabilités totales.−Distinguer en situation P_A(B) et P_B(A),par exemple dans des situations de type «faux positifs».−Représenter une répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau	2,5		Méthode de Monte-Carlo: estimation de l’aire sous la parabole, estimation du nombre π.	Les probabilités conditionnelles peuvent être l’objet d’un travail historique en anglais; elles apparaissent en effet dans des travaux de Bayes et de Moivre, écrits en anglais au XVIIIesiècle, même si c’est Laplace qui en a élaboré la notion. Les questions traitées par ces auteurs peuvent parfois surprendre (exemple: quelle est la probabilité que le soleil se lève demain, sachant qu'il s'est levé depuis le commencement du monde?);néanmoins, les probabilités conditionnelles sont omniprésentes dans la vie courante et leur utilisation inappropriée mène facilement à de fausses affirmations
Chapitre 4 : DERIVATION partie 1 local - global Contenus Point de vue local− Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.−Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation f’(a).−Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme «limite des sécantes». Pente. Équation :la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est la droite d’équation y=f(a)+f’(a)(x-a). Point de vue global− uniquement les polynômes ici (fin chap 6) Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.−Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.−Opérations sur les fonctions dérivables: somme, ku. Capacités attendues− Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante.−Interpréter le nombre dérivé en contexte: pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal...−Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé.−Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.−À partir de la définition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse.−Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables	2		Écrire la liste des coefficients directeurs des sécantes pour un pas donné.	Le calcul différentiel s’est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d’origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation).Le développement d’un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des petites variations. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d’infiniment petit. Ce n’est que très progressivement que les notions de limites et de différentielles, qui en fondent l’exposé actuel, ont été clarifiées au XIXe siècle.
Chapitre 5 : SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES Suites arithmétiques: exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à accroissements constants. Lien avec les fonctions affines. Calcul de1+2+...+n.− Suites géométriques: exemples, définition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle : chapitre 14. Calcul de1+q+...+qⁿ.−(Plus tard dans le chapitre 10 : Sens de variation d’une suite.−Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite.) Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer le sens de variation.−Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.−Conjecturer, dans des cas simples, la limite éventuelle d’une suite	3		Calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique.−Calcul de1+2+...+n.−Calcul de1+q+...+qⁿ
Chapitre 6 : DERIVATION Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.−Fonction dérivée des fonctions (carré, cube voir chapitre 4 ), inverse, racine carrée.−Opérations sur les fonctions dérivables: (somme, ku voir chapitre 4 )produit, inverse, quotient, fonction dérivée de x↦g(ax+b)−Pour n dans ℤ, fonction dérivée de la fonction x↦xⁿ.−Fonction valeur absolue: courbe représentative, étude de la dérivabilité en 0. Capacités attendues− Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante.−Interpréter le nombre dérivé en contexte: pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal...−Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé.−Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction.−À partir de la définition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse.−Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables	3
Chapitre 11 : VARIABLES ALEATOIRES Le programme ne considère que des univers finis et des variables aléatoires réelles .L’objectif est simultanément de développer une intuition autour de l’idée de nombre dépendant du hasard et de formaliser la notion mathématique de variable aléatoire comme fonction numérique définie sur un univers, permettant d’affecter des probabilités aux valeurs possibles de la variable. Contenus− Variable aléatoire réelle: modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.−Loi d’une variable aléatoire.−Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire. Capacités attendues− Interpréter en situation et utiliser les notations{X=a}, {X⩽a}, P(X=a), P(X⩽a). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.−Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.−Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.−Calculer une espérance, une variance, un écart type.−Utiliser la notion d’espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable...).	2		Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l‘écart type d’une variable aléatoire.−Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais Simuler une variable aléatoire avec Python.−Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille n d’une variable aléatoire.−Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille n d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.−Simuler,avec Python ou un tableur, N échantillons de taille n d’une variable aléatoire, d’espérance μ et d’écart type σ. Si m désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre m et μ est inférieur ou égal à n/σ²
Chapitre 7 : ETUDES DE FONCTIONS Contenus− Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée; caractérisation des fonctions constantes.−Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative. Capacités attendues− Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums.−Résoudre un problème d’optimisation.−Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité. Étudier la position relative de deux courbes représentatives.−Étudier, en lien avec la dérivation, une fonction polynôme du second degré: variations, extremum, allure selon le signe du coefficient de x².	3		Méthode de Newton, en se limitant à des cas favorables.
Chapitre 8 : TRIGONOMETRIE Contenus− Cercle trigonométrique. Longueur d’arc. Radian.−Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.−Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.−Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Courbes représentatives Capacités attendues− Placer un point sur le cercle trigonométrique.−Lier la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonométrique.−Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.−Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x.	2	Calcul de $\sin\frac{\pi}{4},cos\frac{\pi}{3},sin\frac{\pi}{3}$	Approximation de π par la méthode d’Archimède
Chapitre 9 : CALCUL VECTORIEL PRODUIT SCALAIRE Contenus− Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.−Bilinéarité, symétrie. En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité.−Développement de $\left\\| {\overset{\rightarrow}{u} + \overset{\rightarrow}{v}} \right\\| ²$ Formule d’Al-Kashi.−Transformation de l’expression $\overset{\rightarrow}{\text{MA}}.\overset{\rightarrow}{\text{MB}}$⋅ Capacités attendues− Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dans l’espace.−En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).−Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.	3	−Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).−Ensemble des points M tels que $\overset{\rightarrow}{\text{MA}}.{\overset{\rightarrow}{\text{MB}} = 0}$⋅⋅(démonstration avec le produit scalaire).		La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée mais a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie en étudiant la façon dont la notion de vecteur apparait chez Leibniz au cours de ses recherches sur l’élaboration d’un calcul des variations. Le XIXesiècle voit l’élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique. Le calcul vectoriel et le produit scalaire permettent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, sans doute puissante, avec l’avantage de combiner vision géométrique et calcul.
Chapitre 10 : Variations des suites numériques. Notion de limite. Sens de variation d’une suite.−Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, finie ou infinie, d’une suite.	2 sem
Chapitre 12 : GEOMETRIE REPEREE Contenus− Vecteur normal à une droite. Le vecteur de coordonnées(a,b)est normal à la droite d’équation ax+by+c=0. Le vecteur(-b,a)en est un vecteur directeur.−Équation de cercle.−Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie, sommet. Capacités attendues− Déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant un point et un vecteur normal.−Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite.−Déterminer et utiliser l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon.−Reconnaître une équation de cercle, déterminer centre et rayon.− Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une paraboled’équationy=ax²+bx+c dans chapitre 1 .−Utiliser un repère pour étudier une configuration.	2			Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre AB comme ensemble des points M tels que le triangle AMB soit rectangle en M semble remonter à Thalès. Mais ce n'est qu'au XVIIe siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l'équation d’un cercle en repère orthonormé
Chapitre 13 LA FONCTION EXPONENTIELLE Contenus− Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f’=f et f(0)=1. L’existence et l’unicité sont admises. Notation exp(x).−Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)exp(y) et exp(x)exp(-x)=1. Nombre e. Notation ex.−Pour tout réel a, la suite(e^na)est une suite géométrique.−Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle. Capacités attendues− Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.−Pour une valeur numérique strictement positive de k, représenter graphiquement les fonctions t↦e^-kt et t↦e^kt.−Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d’un capital à taux fixe, décroissance radioactive).	2		Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée de e à l’aide de la suite $(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n})$