Parallélisme dans l'espace

Propriété

• Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

• Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux.

Propriété

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Exemple

$d$ est parallèle à $d_1$ et $d_1$ est contenue dans le plan $\wp$ donc $d$ est parallèle à $\wp$.

Propriété

Si un plan $\wp$ contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d' un plan $\wp'$ alors les plans $\wp$ et $\wp'$ sont parallèles.

Exemple

$d_1$ et $d_2$ sont deux droites du plan $\wp$ ; $d_1$ et $d_2$ sont sécantes et respectivement parallèles à deux droites du plan $\wp'$ donc les plans $\wp$ et $\wp'$ sont parallèles.

Propriété

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles entre elles.

Exemple

Les plans $\wp$ et $\wp'$ sont parallèles et $\wp$ et $\wp''$ sont sécants avec $\wp\cap\wp''=d$, donc $\wp'$ et $\wp''$ sont sécants et $\wp'\cap\wp''=d'$ où $d'$ est une droite parallèle à $d$.

Propriété [Théorème du toit]

Soit $\wp$ et $\wp'$ deux plans distincts, sécants selon une droite $\Delta$.

Si une droite $d$ de $\wp$ est strictement parallèle à une droite $d'$ de $\wp'$ alors la droite $\Delta$ intersection de $\wp$ et $\wp'$ est parallèle à $d$ et à $d'$.

Preuve

Par hypothèse, $\wp\cap\wp'=\Delta$ et $d//d'$. Les droites $d$ et $d'$ sont parallèles donc elles sont coplanaires. Donc, il existe un plan $Q$ qui contient à la fois $d$ et $d'$. Mais alors $d$ et $\Delta$ sont contenues dans $\wp$ et $d'$ et $\Delta$ sont contenues dans $\wp'$. Donc : $\wp\cap Q=d$ et $\wp'\cap Q=d'$.

Montrons que $d//\Delta$. Supposons que $d$ et $\Delta$ ne soient pas parallèles. Donc elles sont sécantes en un point $A$.

$A\in d$ et $A\in\Delta$.

• $A\in d$ et $d=\wp\cap Q$ donc $A\in Q$.

• $A\in\Delta$ et $\Delta=\wp\cap\wp'$ donc $A\in\wp'$. D'où $A\in Q\cap\wp'=d'$.

Par conséquent, $A\in d'$ et $A\in d$ et par conséquent, $d$ et $d'$ sont sécantes en A. Ce qui est absurde, contraire à notre hypothèse.

Les droites $d$ et $\Delta$ sont donc parallèles. De plus, comme $d$ et $d'$ sont parallèles, on en déduit que les droites $d'$ et $\Delta$ sont aussi parallèles.

Conclusion : L'intersection de $\wp$ et $\wp'$ est une droite $\Delta$ parallèle à la fois à $d$ et à $d'$.

Méthode [Construire la section d'un solide par un plan]

Il s'agit de construire l'intersection de ce plan avec chacune des faces du solide.

Exercice:

On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-contre. On note $M$ le milieu du segment $[EH]$ et $N$ celui de $[FC]$.

Tracer la section de ce cube par le plan $(MNG)$.

Correction

L'intersection du plan $(MNG)$ avec la face $HEFG$ est le segment $[MG]$. Il est visible, on le trace donc en trait plein.

$G, N$ et $B$ sont alignés, donc l'intersection du plan $(MNG)$ avec la face $FGCB$ est le segment $[GB]$. Il est visible, on le trace donc\ en trait plein.

Les faces $EHDA$ et $FGCB$ étant parallèles, l'intersection du plan $(MNG)$ avec la face $EHDA$ est le segment passant par $M$ et parallèle à $(GN)$. Il n'est pas visible, on le trace donc en pointillés.

Notons $P$ le point d'intersection de $(MNG)$ et $(EA)$. L'intersection du plan $(MNG)$ avec la face $ABFE$ est le segment $[PB]$. Il est visible, on le trace donc en trait plein.

La section du cube par le plan $(MNG)$ est le polygone $MGBP$ colorié en rouge. Comme $(MP)//(GB)$, il s'agit d'un trapèze.