Vecteurs de l'espace

Remarque

On étend à l'espace la définition et les propriétés des vecteurs étudiées dans le plan.

Propriétés [Vecteurs colinéaires]

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k \vec{u}$. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace.

Propriété [Caractéristique]

$A$ et $B$ étant deux points distincts de l'espace, la droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ soient colinéaires.

On dit que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.

Définition [Vecteurs coplanaires]

Trois vecteurs non nuls $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine $A$ ont des extrémités $B,C$ et $D$ telles que $A, B, C$ et $D$ appartiennent à un même plan.

Propriété [Caractéristique]

$A$, $B$ et $C$ étant trois points non alignés de l'espace, le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que :

$\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$, avec $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels.

On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dirigent le plan $(ABC)$.

Preuve

$A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ n'étant pas colinéaires, $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est donc un repère du plan $(ABC)$.

• Si $M$ appartient à $(ABC)$, alors $M$, $A$, $B$ et $C$ étant coplanaires, il existe $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$.

• Réciproquement, si $M$ est un point de l'espace tel que \ $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$, avec $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels, alors il existe un point $N$ de la droite $(AB)$ tel que $\overrightarrow{AN}=\alpha\overrightarrow{AB}$.\ $\overrightarrow{AM}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{NM}=\beta\overrightarrow{AC}$. $M$ est donc un point de la droite parallèle à $(AC)$ passant par $N$. Donc, comme $N\in(ABC)$, $M\in(ABC)$.

Propriété

Soit trois vecteurs non nuls $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que\ $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$.

Preuve

Soit $A$, $B$, $C$ et $M$ les points de l'espace tels que $\vec{w}=\overrightarrow{AM}$, $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{w}=\overrightarrow{AC}$.

$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $A$, $B$, $C$ et $M$ sont coplanaires, c'est-à-dire si et seulement si il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec{AM}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}\Leftrightarrow \vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$.

Méthode [Démontrer que quatre points sont coplanaires]

Il s'agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l'un en fonction des deux autres.

Exercice:

Soit $ABCD$ un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB]$ ; $E$ et $F$ les points définis par $\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ et G le point tel que $BCGD$ soit un parallélogramme.

1. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{IE}$, $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{IG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.

2. En déduire qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{IG}=\alpha\overrightarrow{IE}+\beta\overrightarrow{IF}$.

3. En déduire que les points $I, E, G$ et $F$ sont coplanaires.

Correction

\overrightarrow{IE} &= \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\\ \overrightarrow{IF} &=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}.\\ \overrightarrow {IG}&=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}\\ &=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\\ &=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\\ &=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}. \end{aligned}

1. Il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\overrightarrow{IG}=\alpha\overrightarrow{IE}+\beta\overrightarrow{IF}$

soit

$-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=-\dfrac{\alpha}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2\alpha}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{\beta}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2\beta}{3}\overrightarrow{AD}$

Pour obtenir cette égalité, il suffit de prendre $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\beta}{2}$ et $\dfrac{2}{3} \alpha=1$ et $\dfrac{2}{3} \beta=1$ , soit, $\alpha=\dfrac{3}{2}$ et $\beta=\dfrac{3}{2}$.

D'où $\overrightarrow{IG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{IE}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{IF}$

1. On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{IE}$, $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{IG}$ sont coplanaires, donc les points $I, E, G$ et $F$ sont coplanaires.

$$